HUSNG vs pot-odds

2010. április 25., vasárnap 21:55
Matekos poszt!
Sziasztok!

Olvastam itt-ott, hogy ha olyan helyzetbe kerülünk, ahol megadás és dobás között kell választanunk, és a további utcákon már nem kerül be pénz, akkor pot-odds alapján kell dönteni. Ilyen szituácók lehetnek (HU):
  • akármikor a party folyamán az ellenfél allin megy
  • az ellenfél akkorát emel, ami nekünk allin
  • riveren az ellenfél emel, visszaemelnünk viszont nincsen értelme (pl.: csak a blöfföt verjük)
Lássuk a döntés hogyan alakul CG esetén:

Tegyük fel, hogy x-et kell megadni egy pot méretű potba. A győzelmi esélyünket jelöljük p-vel (ez egy 0 és 1 közötti szám, ami jelzi, hogy az esetek hányadrészében nyerünk). A split esélye legyen elhanyagolható az egyszerűség kedvéért.

A dobás várható értéke: EV(fold) = 0 (nulla, CG-nél ez mindig így van, ami a potban van az már nem a miénk)
A megadás várható értéke: EV(call) = p*pot + (1-p) * (-x)     (az esetek p részében megnyerjük a pot-ot, de (1-p) részében elveszítjük a megadásunk összegét).

Akkor érdemes megadni, ha EV(fold) < EV(call), tehát kis számolgatással:
0 < p*pot + (1-p) * (-x)
0 < p * (pot + x) - x
x / (pot + x) < p

Ez grafikusan ábrázolva, ha (x+pot) összeg konstans:


Ha az (x,p) pont a kék egyenes felett van, akkor kell megadnunk, egyébként pedig dobnunk.

Lássuk a döntést HUSNG esetében:

Tegyük fel, hogy 1500 zsetonról indultunk (igazából mindegy, hogy ez mennyi, csak a vizualizáció kedvéért). Definiáljunk egy w(x) függvényt, ami megadja, hogy mennyi esélyünk van megnyerni a meccset, ha a következő leosztást x zsetonnal kezdjük. Ekkor:

  • w : [0,3000] -> [0,1] leképezés
  • w(0) = 0 (hiszen ha 0 zsetonunk van a köv. leosztás előtt, akkor vesztettünk)
  • w(3000) = 1 (hiszen ha mind a 3000 zseton nálunk van, akkor nyertünk)
  • w(x) szigorúan monoton növő függvény (több zsetnnal nagyobb az esélyünk)
w(x) alakja erősen függ az ellenféltől és az adott vakszinttől, valamint, hogy SB vagy BB leszünk-e a következő leosztásban, de általában nem egyenes, pl.:



A várható nyereményünk (az egész meccsé) tehát felírható, ha a következő leosztást x zsetonnal kezdjük:

EV(x zsetonnal folytatjuk) = w(x) * (első díj)

Az (első díj)-at vehetjük 1 egységnek, így a várható nyeremény éppen w(x) lesz.

Tegyük fel, hogy a fenti szituációk valamelyikébe kerülünk, azaz a kérdés, hogy érdemes-e megadnunk egy emelést riveren, vagy egy allint (estelg korábban). Tegyük fel, hogy x2 zsetonon állunk, azaz a dobás esetén x2 zsetonnal várjuk a következő leosztást. Ekkor a dobás várható értéke (a meccset figyelmbe véve):

EV(fold) = w(x2)

Tegyük fel, hogy megadás esetén ha vesztünk, akkor x1 zsetonunk marad, ha nyerünk, akkor x3-ra ugrunk (x1 < x2 < x3). A győzelem valószínűségét ismét becsülhetjük p-vel. Ekkor a megadás várható értéke:

EV(call) = p * w(x3) + (1-p) * w(x1)

Ismét akkor érdemes megadni, ha a várható érték nagyobb, mint a dobás várható értéke:

EV(fold) < EV(call)
w(x2)      < p * w(x3) + (1-p) * w(x1)
w(x2)      < p * ( w(x3) - w(x1) ) + w(x1)
w(x2) - w(x1) < p * ( w(x3) - w(x1) )

Mivel x3 > x1 és w szig. monoton nő, w(x3) > w(x1), tehát w(x3) - w(x1) > 0, azaz osztva vele mind két oldalt:

(w(x2) - w(x1)) / (w(x3) - w(x1)) < p

Ezt is ábrázolhatjuk grafikusan a következő módon:
  • vegyük a (x1,w(x1)) és (x3,w(x3)) pontok által meghatározott téglalapot
  • mivel x1<x3 és w(x1) < w(x3) ez soha nem lesz elfajuló
  • "nyújtsuk ki" egyenletesen úgy ezt a téglalapot, hogy az alsó határoló egyenes 0-ra, a felső pedig az 1-re kerüljön (lásd példa) - ez akvivalens azzal, hogy a függyvényt eltoljuk -w(x1)-gyel, majd szorozzuk szorozzuk 1 / (w(x3) - w(x1)) -gyel
  • Így x2-nél a transzorfált függvény értéke pont (w(x2) - w(x1)) / (w(x3) - w(x1)) lesz
A döntés ezután: ha (x2,p) pont az így transzformált w(x) függvény felett van, akkor call, egyébként fold (ezzel a döntéssel maximalizáljuk a meccs várható nyereményét).

Hasonlítsuk ezt össze a pot-odds-alapú döntéssel: A korábban használt pot értéke itt x3-x2 lesz, hiszen ennyi van már a potban a megadás előtt, a korábban használt x értéke itt x2-x1 lesz (ennyit kell megadnunk). Azaz együtt ábrázolva a pot-odds-alapú döntésünk határolóegyenesét és a várható nyeremény-alapú döntésünk határoló függvényét a következőt kapjuk:



A kék terület jelzi azokat a pontokat, ahol hibázunk, amikor a pot-odds alapján dobunk HUSNG-ben, a helyes játék a megadás volna. A piros terület jelzi, azokat a pontokat, ahol pot-odds alapján hibásan megadunk, holott HUSNG-nél a helyes döntés a dobás volna.

A kérdés, hogy általában mekkora területet fednek le ezek a részek, ez csakis attól függ, hogy a becsült w(x) függvény az [x1,x3] intervallumon mennyire tér el az egyenestől. Amíg a vakok alacsonyak, addig az [x1,x2] is "keskeny" lesz, ilyenkor nem hibázunk nagyot, ha pot-odds alapján döntünk, viszont nagyobb vakoknál, ahol x3 jelentősen nagyobb x1-nél akár hatalmas eltérés is lehet.

Persze ahhoz, hogy ezt átültessük gyakorlatba minden ilyen döntés előtt meg kellene becsülni w(x1), w(x2) és w(x3) értékét, ami nem feltétlen egyszerű feladat:) (allin szituációban az egyiket könnyű, ha mi kerülönk allin, akkor w(x1)=0, ha az ellenfél, akkor w(x3) = 1). Az elmélet nem veszi figyelmbe az "idő"-tényezőt (azaz allin megadásával sokkal gyorsabban véget érhet a meccs, ami jobb $/óra eredményt adhat), valamint a river-megadás esetén az esetleges +információt, amit kaphatunk az ellenfél lapjának ismeretéből. Ez a kettő egy kicsit "lejjebb" vihetői a választó-vonalakat.

Sai

Hozzászólások

  • branermajszter2010. április 25., vasárnap 22:30
    avatar

    Ez nekem tú máccs.
    Tipikus Sheldon Cooper

  • ShirDady2010. április 25., vasárnap 22:37
    avatar

    branermajszter +1
    De tudatalatt biztos ennek emgfelelően játszom :-D
    Legalábbis remélem!

  • cincinatus2010. április 25., vasárnap 22:57

    A HU Sng-t szerintem nem érdemes ennyire EV számításra építeni, az ellenfél személye (játéka) a legfontosabb szempont egy jó döntés meghozatalánál.

  • Mediolanum2010. április 26., hétfő 01:56
    avatar

    most már értem miért vagyok ilyen béna:(

  • ironmike2010. április 26., hétfő 08:44
    avatar

    Gondolom matekkel nincsenek gondjaid! :)

  • japmark2010. április 26., hétfő 09:02
    avatar

    Aztaa!

    Elővettem a matek-magyar, magyar-matek szótárt
    Éreztem, hogy ez lesz a bibi a játékomban

  • Sai2010. április 26., hétfő 16:30
    avatar

    ShirDady: ha ilyeneket gondolsz: "rámtolta ez a fish az allint, pot-odds alapján meg kellene adnom flush-húzóval, de inkább eldobom és később egy jobb helyzetben lejátszom", akkor ennek megfelelően játszol:D

    cincin: a legfontosabb az ellenfél ismerete, ez csak egy "apróság", ami minimális változásokat okozhat a játékban (tipikusan allin-megadásoknál). Szerintem tapasztalt játékosok eleve ehhez hasonlóan játszhatnak, de én matematikusként szeretem leírni a dolgokat:) Régebben olvastam egy "oktatóanyagban" egy példaleosztást, ahol egy allin-megadásnál kiszámolta a pot-oddsot és az alapján döntött az "oktató", holott nem így kell, és ha már kiszámolgattam magamnak, gondoltam megér egy blog-bejegyzést:)

  • Hideyoshi2010. április 26., hétfő 20:25
    avatar

    Hu, sejtettem, hogy Alyr és a többiek felpiszkáltak.:)
    3 éve mondogatom a fórumokon a szokásos "póker matematika" hu sng esetére nem teljesen érvényes, örülök, hogy ilyen szépen siekrült ezt levezetned.
    Hu sng for ever!

  • sawwee2010. április 27., kedd 20:51

    Sziasztok,

    Új vagyok a fórumon, de eltökélt (és nyerő) HUSNG játékos, így nagy érdeklődéssel olvastam a cikket.

    Bennem egyetlen nagy és fontos kérdés maradt:

    "w(x) alakja erősen függ az ellenféltől és az adott vakszinttől, valamint, hogy SB vagy BB leszünk-e a következő leosztásban, de általában nem egyenes" <-- Miért? Mivel az egész elmélet erre a mondatra épül, ezt érdemes lenne bővebben kifejteni.
    Nekem ugyan volt időnként olyan - a cikkel összhangban lévő - érzésem, hogy HU SNG -ben nem feltétlenül a pot odds számít, de egyrészt ennek mindenhol az ellenkezőjét olvastam (és valóban: itt nincs pl. ICM hatás amely torzíthatná, és amely normál SNG-k esetén erősen érvényesül), valamint nem is tudtam a magam számára sem konkrét és igazolható állításokat megfogalmazni.

    Szóval, mi igazolja az ominózus mondatot, és konkrétan hogyan érvényesülnek a megemlített tényezők?

  • Sai2010. augusztus 31., kedd 21:10
    avatar

    Hopp, nem vettem ezt észre, sorry...

    A w(x) ugye annak a valószínűsége, hogy x zsetonnal a kezünben mi nyerjük a meccset, ha ez egyenes lenne, akkor w(1500) = 0.5 lenne bárki játszik bárki ellen és bármelyik vakszinten (tehát ha ugyannyi zsetonunk van, akkor gyakorlatilag pénzfeldobás-t játszunk). Ez nyilván nem teljesül, mert egy jobb játékos többször fog nyerni hosszútávon, mint az ellenfele, pedig ugyanannyi zsetonnal kezdenek.

Ha hozzá szeretnél szólni, lépj be! vagy regisztrálj!