Valószínűségszámítás

2010. január 16., szombat 19:03
Rövid összefoglalás a valószínűségszámítás alapjairól véges esetben sok pókeres példával.
Sziasztok!

Írok egy rövid összefoglalót (példákkal) a pókerben is használatos valószínűségszámításról, mert úgy láttam, hogy többen fogalomzavarokkal küzdenek/nem tudják mit hogyan kell számolni és miért. Próbálok érthetően fogalmazni és példákkal szemléltetni (nem annyira a definíciókat fogom magyarázni, inkább a jelentésüket).

Matematikusoktól előre is elnézést kérek a "hibás" definíciókért! Amiket írok csak akkor igazak, ha véges sok elemi eseményünk van!

Valószínűségi mező:

Egy "kísérletet" jellemzünk valószínűségi mezővel. Egy kísérlet alatt azt értem, hogy egy folyamat (pl leosztás) elején/közepén/végén vagyunk, és különböző módokon végződhet a folyamat (de nem tudjuk előre mi lesz a vége).

Egy valószínűségi mező  egy (O, A, P) hármas, ahol:

  • O: elemi események halmaza (lehetséges bejefeződések)
  • A : események halmaza (egy esemény néhány (vagy akár 0) elemi eseményből áll, ezeket vagy-gyal összekapcsolva - lásd majd példa)
  • P: események valószínűsége (függvény A-ból R-be (valós számok halmaza))
Ha véges sok elemi eseményünk van (csak véges sok módon végződhet a kísérlet), akkor gyakorlatilag minden végződéshez rendelhetünk egy valószínűséget (ami egy nemnegatív valós szám), és ezeknek az összege 1 lesz.

Példa: pénzfeldobás
elemi események O={o1,o2}:

o1 : írás lesz
o2 : fej lesz

valószínűségek (szabályos érménél):

P(o1) = 1/2
P(o2) = 1/2

események (A) és valószínűségeik:

Hülyén hangzik, de ez is esemény:
nem dobjuk egyiket sem :P(üres halmaz) = 0
írást dobunk: P({o1}) = 1/2
fejet dobunk: P({o2}) = 1/2
fejet vagy írást dobunk : P({o1,o2}) = 1

Általában nem kell felírni az összes eseményt, csak ami minket érint a kísérlet szempontjából (póker esetében általában: nyerünk/vesztünk/döntetlen stb.)

Példa: pókeres

turn után vagyunk, allin kerültünk már korábban, lapok:
nálunk: {#}{#}
ellenfél: {#}{#}
board: {#}{#}{#}{#}

Elemi események:
nem sorolom fel, de a lehetséges river kártyák, ami 44 különböző lehet (44db elemi esemény)

Ezek valószínűségei:
Feltételezzük, hogy mindnek ugyanannyi a valószínűsége,az összegüknek 1-nek kell lennie, így a valószínűségek: 1/44

Egy bizonyos esemény valószínűsége:

Nem tetszik a board, mi a valószínűsége, hogy vesztünk?
Meg kel határozni, hogy mely elemi eseményeknél vesztünk:

"Rossz "lapok: {{#},{#}K,{#}A ,{#}J,{#},...,{#}3, {#},{#}J ,{#}J} (összesen 14db)
Ezeket "vagy"-gyal kapcsoljuk össze (vesztünk, ha {#}K vagy {#}K vagy ... érkezik)

Az esemény valószínűsége mindig a benne szereplő (vagy-gyal összekapcsolt) elemi események valószínűségeinek az összege (véges számú elemi eseménynél)!

Ez alapján P(vesztünk) = P(
{#}K jön) + P({#}K jön) + ... + P({#}J jön) = 1/44 + 1/44 + .. 1/44 = 14 * 1/44 = 14/44 = 31.8%

Innen jön ki a mindenki által ismert "képlet": egy esemény valószínűsége a jó esetek száma osztva az összes eset számával. Ez csak akkor igaz, ha minden elemi esemény valószínűsége megegyezik!!!


Bonyolultabb pókeres példa:

nálunk: {#}{#}A
ellenfél: {#}{#}K
board: {#}{#}{#}

Undorító flop, de azért mekkora eséllyel nyerhetünk?

Elemi események:
45 lehetséges turn kártya jöhet, utána 44 lehetséges river-kártya (a turn-ön lejövő nem jöhet mégegyszer), ez összesen 45*44 = 1980 eset. (ebből 990 különbözik, mert a sorrend igazbából mindegy, de ezzel most ne foglalkozzunk, csak bonyolítana).

Ezek bármelyike ugyanolyan valószínű (feltételezzük), így a valószínűségek: 1/1980

Mikor nyerünk? (turn+river kombinációk, sorrend is számít):
{#}{#}A : 1 eset
{#}A
X , ahol X nem lehet {#}K vagy {#} : 42 eset
 {#}A {#}A: 1 eset
 {#}A X , ahol X nem lehet {#}K vagy {#}A : 42 eset
  X{#} , ahol X nem lehet {#}K vagy {#} : 42 eset
  X{#}A , ahol X nem lehet {#}K vagy {#}A : 42 eset
 2 3, akármilyen színben 4*4 = 16 eset
 3 2, akármilyen színben 4*4 = 16 eset

Összesen: 202 eset.
Így a győzelmi eséylyünk: 202/1980 = 0.102 = 10.2% (ellenőrzés: itt)

Ezt az esélyt (esély a győzelemre) szokták equity-nek nevezni a szakirodalomban.

Valószínűségi változó:

Ha az elemi eseményekhez (mindhez) értékeket is rendelünk (valós számokat pl: "nyeremény"), akkor ezt a függvényt valószínűségi változónak hívjuk.

Pókeres példa:
nálunk: {#}{#}
ellenfél: {#}{#}
board: {#}{#}{#}{#}2

Ellenfelünk nem igazán szeret emelni (fish), eddig csak megadogatott OOP, és 80bb van a potban, előttünk és előtte is még 60-60bb. Turn után viszont allin megy, amit meg akarunk adni. Mik legyen az értékei a lehetséges river-kártyáknak (elemi eseményeknek) megadás esetén?

Jelöljük v-vel ezt a függvényt (value).
Nyilván ha számunka rossz river érkezik, akkor a megadással elvesztünk 60bb-t, viszont ha jó lap jön, akkor nyerünk 80+60 = 140bb-t. Így a "lapok értékei":
v( {#}A ) = +140bb
v({#}
) =  -60bb
v({#}
) =  -60bb
v({#}
) =  -60bb
...

Ami fontos a pókeres példáknál, hogy a folyamatot nézve ami a potban van azt már nem szereplehet a "kiadás"-ok között (az már a múlt), azt csak megnyerhetjük!

Várható érték:

A várható érték azért fontos, mert a "nagy számok törvénye" alapján
ha sok egymástól független kisérletet végzünk, amelyek eredménye valamely véletlen szám, akkor a mért eredmények átlaga nagyon kevéssé ingadozik a kisérletek eredményének várható értéke körül.

Amint az előző példában is látjuk, a valószínűségi változó csak "kevés" különböző értéket vesz fel (pókeres példákban), de általában is legfeljebb annyi különböző értéke lehet ahány elemi esemény van (amiről feltettük hogy véges). Legyenek a valószínűségi változó lehetséges értékei v1,v2,.... A hozzájuk tartozó valószínűségek pedig p1,p2,... (tehát p1 annak a valószínűsége, hogy olyan elemi esemény következik be, hogy v1-et "nyerünk"). Ekkor a várható érték:

Ev = x1*p1 + x2*p2 + ...

Pókeres példa:

Az előző példánál maradva mennyi a várható értéke az allin megadásának?
A valószínűségi változó két értéket vehet fel (ha nyerünk, akkor +140bb, ha vesztünk, akkor -60bb), tehát x1 = 140bb, x2 = -60bb.

Mennyi p2?
p2 az a valószínűség, hogy 60bb-t vesztünk, azaz annak az eseménynek a valószínűsége, hogy vesztünk. Ez egy korábbi példában ki lett számolva: p2 = 14/44.

Mennyi p1?
p1 az a valószínűség, hogy 140bb-t nyerünk, azaz annak az eseménynek a valószínűsége, hogy nyerünk. Mivel split nem lehet, így ez pont azok az esetek, amikor nem vesztünk (az összes többi, azaz:) p1 = 30/44.

Ev(call) = 140bb * 30/44 + (-60bb) * 14/44 = (140bb * 30 - 60bb*14) / 44 = 76.36bb

Mennyi lenne a fold EV-je?

Ha a fold mellett döntünk, akkor egyetlen elemi eseményünk lenne (eldobjuk a lapunk), aminek a valószínűsége 1 lenne, és a hozzá tartozó érték: v(fold) = 0 (nem vesztünk többet, de nem is nyerünk).
Ennek Ev-je: Ev(fold) = 1 * 0 = 0
A fold EV-je mindig 0, ezért kell a +EV-s megadásokat/emeléseket keresni!

Van "egyszerűbb" számolás?

Pot-odds alapján is lehet dönteni, ha csak az a kérdés, hogy az Ev pozitív-e:

Legyen x1, hogy mennyit nyerhetünk (pot + ellenfél emelése + amennyit még emel/megad később)
Legyen x2, hogy mennyit kell megadnunk.

A győzelmünk valószínűségét becsüljük p1-nek (turn után ez (outok száma) / 46 ("jó eset"/"összes eset").
Nyilván a nem győzelem valószínűségét becsülhetjük: p2 = 1-p1-nek.

Ekkor a megadás EV-je: p1 * x1 - p2 * x2.
A kérdés, hogy ez nagyobb-e 0-nál:

p1 * x1 - p2 * x2 > 0
p1 * x1 - (1-p1) * x2 > 0
p1 * (x1 + x2) - x2 > 0
p1 > x2 / (x1+x2)

Azaz akkor lesz profitábilis a megadás, ha a equity-nk nagyobb, mint a pot-odds.


Mennyi lenne az allin-menés EV-je, ha OOP lennénk és 10% eséllyel eldobja a lapját (előző példa)?

nálunk: {#}{#}
ellenfél: {#}{#}
board: {#}{#}{#}{#}2

pot: 80bb
effective stack: 60bb

Ekkor változik az elemi események halmaza, mivel a lehetséges befejezések:
- eldobja a lapját
- megadja és river {#}
- megadja és river {#}
...

Valószínűségek:
p(eldobja) = 0.1

A megadásoknál minden lap ugyanolyan eséllyel jön (44 ismeretlen lap), így darabjának valószínűsége 0.9/44 lesz (mivel az összegnek 1-nek kell lennie és 0.1 az esélye az eldobásnak - ez egyébként a fold equity)

Elemi események értéke:
v(eldobja) = 80bb, mivel megnyerjük a potot
v(megadja és {#}2 jön) = 140bb
v(megadja és {#} jön) = -60bb
...

3-féle különböző értéket vehet fel:
v(eldobja) = 80bb
v(allint vesztünk) = -60bb
v(allint (nyerünk) = 140bb


Ki kell számolni, hogy mennyi az esélye annak, hogy megadja, és vesztünk:
14 ilyen elemi esemény van (14 rossz kártya), ezek össz valószínűsége :
p(adja és vesztünk) = 14 * 0.9/44 = 0.286

Megadja és nyerünk:
30 ilyen elemi esemény van (30 jó kárty): ezek össz valószínűsége:
p(adja és nyerünk) = 30 * 0.9/44 = 0.614

EV(allin megyünk) = P(eldobja) * v(eldobja) + P(megadja és vesztünk) * v(allint vesztünk) + P(megadja és nyerünk) * v(allint nyerünk) = 0.1 * 80bb + 0.286 * (-60bb) + 0.614 * 140bb) = 76.8bb


És akkor mi az az allin-EV, amit a HM számol?

A HM mindössze annyit tesz, hogy a "kísérlet"-et az allin megadása után kezdi, és a valószínűségi változó értékénél figyelembe veszi a már berakott pénzt is (így megkapja, hogy várhatóan mennyivel lesz több pénzed a party után, mint előtte). Ez semmit nem mond arra nézve, hogy jó volt-e az allin megadásod/allinmenés csak egy simább "grafikont" ad, ami körül "hullámzik" a nyereményed!

Példa:

nálunk: {#}{#}
ellenfél: {#}{#}
board: {#}{#}{#}{#}2

Allin turn után, potban 200bb (100bb tőtünk).

p(győzünk) = 30/44
p(vesztünk) = 14/44

v(győzünk) = +100bb
v(vesztünk) = -100bb

EV(party) = 30/44 *100 + 14/44 * (-100) = 36.36bb


Végezetül egy kis számolgatás (kombinatorika):

Mennyi az esélye, hogy 10db 80-20-as pre allin (100bb mind) után EV felett leszünk(vagy pont EV-n) ?

Egy party EV-je: EV = 0.8 * 100bb + 0.2 * (-100bb) = 60bb
Így 10 party EV-je 600bb (összeadódik).

Akkor leszünk EV felett, ha legalább 8-at nyerünk a 10-ből.

Elemi események: felírjuk a 10 allin eredményét (w - nyertük, l - vesztettük)
pl: (w,w,l,w,w,l,l,w,w,w) azt jelenti, hogy a 3., 6., 7. allint buktuk, többit nyertük.

Ez összesen 2^10 különböző esemény de nem egyenlő valószínűséggel (10db w sokkal valószínűbb pl, mint 10db l)!!

Azok a jók, amiben legalább 8db w van.

10db w egy elemi eseményben van van: (w,w,w,w,w,w,w,w,w,w), ennek valószínűsége 0.8^10 (mindet nyerni kell)
9db w 10db elemi eseményben van (valahol van egy db 'l'), egynek a valószínűsége: 0.8^9 * 0.2 (9-et nyerni kell, egyet bukni)
8db w: (10 alatt a 8)-ban van, egynek a valószínűsége: 0.8^8*0.2^2

(Általában binomiális eloszlásnak hívják, annak a valószínűsége, hogy n kísérletből k-t nyerünk, ha p a valószínűsége: (n alatt a k) * p^k * (1-p)^(n-k) )

Össz valószínűség:
0.8^10 + 10 * 0.8^9 * 0.2 + (10 alatt a 8) * 0.8^8 * 0.2^2 = 0,678 = 67.8%

Azaz rövidtávon a jó játékos (aki jobb lapokkal megy allin) nagyobb valószínűséggel van EV felett, mint alatta!

Sai

Hozzászólások

  • Lordius2010. január 16., szombat 19:52
    avatar

    király, úgyis gyakszigóra készülök :)

  • GreEko2010. január 16., szombat 20:09
    avatar

    hát ez durva lett. mehetne nyugodtan a cikkek közé!!
    grat! :)

  • kormi882010. január 16., szombat 22:10
    avatar

    Szép munka!
    Felvettem a könyvjelzők közé, hogy tudjak hivatkozni rá, hogy van a pókerben matek is. :)

  • ravasz2010. január 17., vasárnap 02:49
    avatar

    Nem semmi.

  • Nyuzoo2010. január 17., vasárnap 08:32
    avatar

    Szerencsére a pokerstove erre valo:D

  • Sai2010. január 17., vasárnap 18:40
    avatar

    Köszi mindenki.
    Nyilván könnyebb kiszámolni programmal, de sztem azért érdemes tudni, hogy kb mit is jelent az eredmény:)

  • Fluxxxi2014. július 10., csütörtök 12:03
    avatar

    őőő, azt hiszem ezt elolvasom még egyszer. Köszike!

Ha hozzá szeretnél szólni, lépj be! vagy regisztrálj!